Mediatriz

Se conoce con el nombre de mediatriz, en geometría, a la recta que es trazada desde un punto medio de un segmento y que además cumple con la condición de perpendicularidad respecto a ella. Su efecto principal recae en que ambos lados que genera del segmento son totalmente simétricos respecto al punto medio donde se traza la mediatriz.

Analíticamente se puede describir como una recta mediatriz a aquella cuyos puntos que la conforman se encuentran equidistantes a los extremos del segmento, es importante señalar que la mediatriz la poseen solo segmentos, por lo que su definición es imposible, en cualquier disciplina, aplicársele a conceptos infinitos no definidos.

Tabla de Contenidos

• Definición de Mediatriz
  • Propiedades
• Mediatriz de un triángulo
  • Bisectores en el triángulo
• Mediatriz de un segmento
  • Cómo se calcula la mediatriz
• Uso de la mediatriz
• Diferencia entre mediatriz y bisectriz
  • Clasificación de los ángulos
    • Según sus costados
    • Según sus ángulos

Definición de Mediatriz

La mediatriz perpendicular de un segmento es la línea perpendicular al segmento que pasa a través de su punto medio. La geometría de los puntos del plano equidistantes de los extremos de un segmento.

Las características más destacadas de una mediatriz son las siguientes:

• Los mediatrices rectos también se conocen como simétricos.
• Cuando se construyen ángulos, la mediatriz se genera entre dos puntos equidistantes del punto medio y donde pasa la bisectriz.
• Es una línea perpendicular.
• Divide el ángulo por la mitad.
• Siempre pasa por el punto medio del segmento.
• Ambas partes que resultan de la división miden lo mismo.
• La bisectriz de un segmento se puede construir con una regla y una brújula.
• También se puede llamar un locus.
• Hay tres mediatrices en un triángulo (Ma, Mb y Mc), dependiendo del lado del triángulo al que se refieren (a, b).

Propiedades

• Las distancias AO y BO son las mismas.
• Toda la circunferencia centrada en un punto de la bisectriz que pasa por un extremo del segmento también pasará por el otro.
• A y B son simétricas con respecto a la bisectriz perpendicular.

A las rectas mediatrices también pueden ser llamadas simetral y en la construcción de ángulos, genera la bisectriz de aquel formado entre dos puntos equidistantes respecto al punto medio y por donde pasa la mediatriz. Separándolos en dos ángulos de noventa grados cada uno (ángulos rectos).

Una de las aplicaciones más importantes dentro del campo de la geometría es la determinación del circuncentro de los polígonos cíclicos ya que por definición, la recta que pasa por el punto medio de un segmento que se encuentre dentro de la circunferencia inscrita en el polígono,necesariamente pasará por su centro. En el caso de una circunferencia, cualquier mediatriz de una cuerda que pertenezca a ésta pasará por su centro.

Mediatriz de un ángulo o ángulo dentro de una mediatriz, no es más que la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las semirrectas se les llama lados y al origen común vértice.

Mediatriz de un triángulo

La mediatriz de un triángulo es la bisectriz asociada con uno de sus lados, es decir, la línea mediatriz de un segmento es una línea, el lugar geométrico de los puntos equidistantes de los extremos de ese segmento.

Bisectores en el triángulo

• En un triángulo isósceles, el eje de simetría contiene una bisectriz, una mediana, una altura y una bisectriz perpendicular.
• En un triángulo equilátero, cada eje de simetría contiene una bisectriz, una mediana, una altura y una bisectriz perpendicular.

El bisector representa un lugar del centro de las circunferencias tangentes en los lados del ángulo. Las tres bisectrices de los ángulos internos de un triángulo se cortan en un solo punto, que es equidistante de los lados. Este punto se llama el incentivo del triángulo y es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

Mediatriz de un segmento

es la línea perpendicular a ella que lo divide en dos partes iguales.

Cómo se calcula la mediatriz

Siguiendo los pasos, dibujar en su cuaderno la bisectriz perpendicular de un segmento. Con la ayuda de un gobernante y una brújula:

1. Dibuja un segmento AB.

2. Abra la brújula con un radio mayor que la mitad del segmento AB y dibuje un arco con centro en A.

3. Con el mismo radio, dibuje un arco con el centro B de manera que intercepte el anterior en los puntos P y Q.

4. Dibuja la línea PQ.

Se ha obtenido:

• La línea PQ que es perpendicular al segmento AB.
• El punto M que es el punto medio de AB.
• La línea PQ que es la bisectriz de AB.

Uso de la mediatriz

El uso de la mediatriz en los ejercicios de geometría es necesario para su resolución, como se puntualizó anteriormente el trazado de la mediatriz de un ángulo representa de manera equivalente, la línea recta cuyos puntos son equidistantes a los extremos del segmento se puede definir como el lugar geométrico. También se le llama simétrico.

Diferencia entre mediatriz y bisectriz

La mediatriz refiere a una recta de un segmento perpendicular desde su punto medio. Este es un punto de intersección de un triángulo de tres mediatrices. Por otro lado, bisectriz es la semirrecta que divide a un ángulo en dos partes iguales.

Por otro lado, la mediana es un segmento que tiene como extremos el punto medio de uno de los lados y el vértice del ángulo opuesto a ese lado.

Cabe resaltar, que cada triángulo tiene 3 bisectrices y 3 mediatrices. Tanto las bisectrices como las mediatriz se cortan en el mismo punto.

Clasificación de los ángulos

Según sus costados

• Equilaterales (sus tres lados iguales).
• Isósceles (dos lados iguales y uno desigual).
• Escaleno (tres lados desiguales).

Según sus ángulos

• Rectángulos (un ángulo recto).
• Acutángulos (tres ángulos agudos).
• Obtusángulos (un ángulo obtuso).